Analisis Linier Programing (skripsi dan tesis)

            Linier Programing (LP) merupakan suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas diantara beberapa aktivitas yang bersaing dengan cara yang terbaik yang mungkin dilakukan. Satu hal yang menjadi ciri situasi diatas adalah adanya keharusan untuk mengalokasian sumber terhadap aktivitas. Sifat “linier” memberi arti bahwa seluruh fungsi matematis dalam model ini merupakan fungsi yang linier, sedangkan kata “programa” merupakan sinonim untuk perencanaan. Maka Linier Programing juga merupakan perencanaan aktivitas-aktivitas untuk memperoleh suatu hasil yang optimal, yaitu suatu hasil yang mencapai tujuan terbaik diantara seluruh alternatif yang fisibel (Ali Parkhan dan Zainal Mustafa, 2000).

 1. Formulasi dan bentuk umum linier programming

            Dalam model LP dikenal dua macam fungsi, yaitu: fungsi tujuan dan fungsi batasan. Fungsi tujuan adalah fungsi yang menggambarkan tujuan/sasaran yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumber daya-sumber daya, untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya minimal. Sedangkan fungsi batasan merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan.

            Masalah keputusan yang sering dihadapi adalah alokasi optimum sumber daya terbatas yang ditunjukkan sebagai maksimasi keuntungan atau minimasi biaya. Setelah masalah diidentifikasi, tujuan/sasaran yang ingin dicapai ditetapkan, langkah selanjutnya adalah formulasi model matematis yang meliputi tiga tahap berikut :

1.  Menentukan variabel keputusan (unsur-unsur dalam persoalan yang dapat dikendalikan)

2. Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai suatu hubungan linier dari variabel keputusan.

3.  Menentukan batasan masalah

            Dalam pembahasan model Linier Programing digunakan simbol-simbol sebagai berikut:

m      : macam batasan-batasan sumber atau fasilitas yang tersedia

n       : macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas tersebut

i        : nomor setiap macam sumber atau fasilitas yang tersedia (i: 1,2,3,…n)

j        : nomor setiap macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang tersedia (j: 1,2,…n)

X_j     : tingkat kegiatan ke j (j: 1,2,…n)

a_ij      : banyak sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit keluaran atau output kegiatan (i: 1,2,3,…m) dan (j: 1,2,…n)

b_i      : banyak sumber i yang tersedia untuk dialokasikan kesetiap unit kegiatan (i: 1,2,3,…m)

Z       : nilai yang dioptimalkan (maksimum atau minimum)

C_i      : kenaikan nilai Z apabila ada pertambahan tingkat kegiatan (X_j)

            Dengan satu satuan (unit) atau merupakan sumbangan setiap satuan keluaran kegiatan terhadap nilai Z. Keseluruhan simbol-simbol diatas saelanjutnya disusun kedalam bentuk tabel standart LP seperti pada table dibawah ini :

Kegiatan Sumber	Pemakaian sumber per unit kegiatan  1         2         3         4      .    .    .     n	Kapasitas sumber
1 2 3 . . . M	a11      a12      a13     a14     .    .    .    n1n    a21         a22      a23     a24     .    .    .    n2n     a31      a32      a33     a34     .    .    .    a3n     .          .         .        .       .     .    .      .     .         .          .        .       .      .    .      .     .         .          .        .       .      .     .     .   am1   am2   am3    am4   .      .     . amn	b1 b2 b3 . . . bm
Z pertambahan tiap  unit tingkat kegiatan	C1      C2      C3     C4    .       .    .    Cn   X1      X2       X3      X4    .     .     .     Xn

Tabel 2.1. Tabel data untuk model linier Programing

            Atas dasar tabel diatas kemudian dapat disusun model matematis yang dapat digunakan untuk mengemukakan suatu permasalahan LP sebagai berikut :

Ø   Fungsi Tujuan

Maksimum (minimum) Z = C₁X₁+C₂X₂+C₃X₃+C₄X₄+…+C_nX_n

Ø   Batasan-batasan

a₁₁X₁+a₁₂X₂+a₁₃X₃+a₁₄X₄+……+a_1nX_n  (  ) b₁

a₂₁X1+a₂₂X₂+a₂₃X₃+a₂₄X₄+…   +a_2nX_n   (  )  b₂

_.

_.

_.

A_m1X₁+a_m2X₂+a_m3X₃+a_m4X₄+…..+a_mnX_n  ( )  b_m

            Asumsi-asumsi dalam linier programming

                     1.  Propotionality

                           Asumsi ini berarti bahwa naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber daya yang tersedia akan berubah secara sebanding  (proporsional) dengan perubahan tingkat kegiatan.

                     2.  Addivity

                           Asumsi ini berarti bahwa nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi atau dianggap bahwa kenaikan dari fungsi tujuan (Z) yang diakibatkan oleh kenaikan suatu kegiatan dapat ditambah tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain.

                     3.  Divisibility

                           Asumsi ini menyatakan bahwa keluaran (output) yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa bilangan pecahan.

                     4.  Deternimistic (Certainty)

                           Asumsi ini menyatakan  bahwa semua parameter yang terdapat dalam model LP dapat diperkirakan dengan pasti meskipun jarang dengan tepat.

2. Metode penyelesaian linier programming

         a.   Metode Grafis

               Metode ini digunakan apabila variable model LP yang ada tidak melebihi dua variabel atau yang berdimensi 2 x n atau m x 2.

         b.   Metode Simpleks

               Apabila suatu masalah LP melibatkan lebih dari dua kegiatan maka metode grafik tidak dapat digunakan dalam menentukan kombinasi optimal. Untuk itu digunakan metode simpleks.

               Metode simpleks digunakan untuk menyelesaikan permasalahan optimasi kombinasi dalam perusahaan yang mempunyai lebih dari dua variabel. Penyelesaian optimasi kombinasi disini akan dilakukan secara bertahap, yaitu dengan melihat kemungkinan penyelesaian pada masing-masing kombinasi yang berada pada daerah yang memenuhi syarat, sehingga sampai dengan didapatkannya posisi kombinasi yang paling optimal.

3. Analisis sensitivitas

            Analisis sensifitas bertujuan untuk menghindari perhitungan-perhitungan ulang bila terjadi perubahan satu atau beberapa koefisien model LP pada saat penyelesaian optimal telah tercapai dan bagaimana pengaruh perubahan tersebut terhadap kondisi optimal.

            Secara umum, perubahan-perubahan tersebut akan mengakibatkan salah satu diantaranya ;

a.       Penyelesaian optimal tidak berubah, artinya baik variabel-variabel dasar maupun nilai-nilainya tidak mengalami perubahan.

b.      Variabel-variabel dasar mengalami perubahan, tetapi nilai-nilainya tidak berubah.

c.       Penyelesaian optimal sama sekali tidak berubah.

Tujuan dan segenap keterbatasannya harus dapat dinyatakan sebagai persamaan atau ketidaksamaan matematika dan harus ada kesamaan atau ketidaksamaan linier.